在从咖啡馆回到学校的路上，大数学家卡米耶·若尔当脑海中出现了一个精彩的想法，他一度坚信这是正确且显而易见的。然而，最终得到证明经历了曲折的过程。数学研究中，直觉、信念与逻辑证明有着微妙关系。数学家往往先凭直觉“感受到”真相，再通过严谨逻辑去证实预感，而生活经验和信念则是驱动这一认知过程的重要力量。
本文经授权摘自《数学奇幻之旅》（人民邮电出版社·图灵新知，2026年5月版）第3章“简单明了的真相：直觉与信念在数学中的作用”，有删改。
撰文 | 约瑟夫·马祖尔（Joseph Mazur）
翻译 | 应俊耀、蔚怡
“这就是有蛇鲨的地方！”敲钟人大声喊道，
一边让船员小心停靠；
用他缠绕在发梢的手指，
激励船员勇立潮头。
“这就是有蛇鲨的地方！这是我第二遍讲，
光凭这一点就能鼓舞全员。
这就是有蛇鲨的地方！这是我第三遍讲，
我说三遍的事就不会有假。”
——刘易斯·卡罗尔，《猎鲨记》
1886 年 10 月，一个细雨蒙蒙的下午，卡米耶·若尔当（Camille Jordan）走进巴黎先贤祠后面的一栋小楼，给他在巴黎综合理工学院的数学课学生做了一场讲座。他刚从几个街区之外的卢森堡咖啡馆（Café Luxembourg）绕了一圈回来，取回了遗忘在那里的雨伞。这种往返他最喜欢的咖啡馆的短途散步，经常能激发出聪明的想法。
这一次，他的想法非常宏伟。他这门课非常有名，以前教过很多次，但在那个特别的下午，在新想法的鼓舞下，他满怀信心地说了一些意想不到的东西。他本打算通过一个命题来证明一个定理，他一直认为这个命题显然是正确的，所以他不经意地将它传递给了班上的学生。坐在最后一排的一名警觉的学生礼貌地打断了这位伟大的教授，要求他提供更多的证据，或者证明他所谓“显而易见”。若尔当教授挠了挠头，捋了捋胡子，在沉默了几分钟后，最后得出结论：也许这句话并没有那么显而易见。
随着课堂时间的推移，教授那个简单的命题从显而易见变成了一个令人头疼的未知黑洞。课程内容从常规的教学大纲转向了教授那个不那么显而易见的命题，而这个命题在每次课上都会变得越来越难以捉摸。
若尔当每天都例行在卢森堡咖啡馆工作，喝咖啡，吃大量涂了厚厚的桃子果酱的羊角面包。一年了，他还是没能得出证明。到了春天，他开拓了新的步行路线。他会坐在河边一张特别的长凳上，一边看着摇曳的月桂树叶，一边思考他的证明。到了第二年 6 月，他完成了证明，并将其写成几百页的笔记。11 年后，这些笔记以 109 页的三卷本讲义纲要的形式出版。若尔当教授在 1886 年 10 月随口而说的那个显而易见的命题确实是正确的，至少在当时是正确的。
这个命题是我的朋友罗杰·胡珀（Roger Hooper）在出发前往奥里诺科河前一天讲述的故事重点。我当时没能很好地领会它，但他对信念、说服和证明表现出极大的关注。那天，我们在去卡夫鲁塔的长途跋涉中，遇到了帕纳雷斯妇女和孩子，他对自己亲眼所见的场景的真实性提出了质疑，这一点是很明显的。我们在潮湿闷热的雨林中，又累又饿又渴，感到很不舒服。他对刚才看到的事情感到困惑，就非常认真地思考信念与说服的话题。我要说的大部分内容是他告诉我的。
我们常常在不知其所以然的情况下持有某些观点，还在没有确凿证据的情况下就假定它们是正确的。但是，适当的证明是一个过程，它既可以改变一个观点，也可以让观点变得更加牢固，成为不可动摇的信念。在这个过程中某个不易察觉的时刻，我们开始“感受到”真相。在数学家学习定理的证明时，正在被证明的内容与他们知识库中既有的定理之间，会慢慢形成潜意识的联系。
早在若尔当教授还没有任何论据来支持他的命题之时，他就已经感觉自己是对的。在能够提出决定性的演绎论证之前九个月，他怎么会知道自己的命题是正确的呢？数学享有免受评判的荣耀，然而，即使是数学家也常常形成强烈的观点，而不屑于将其与已知数学的寻常演绎关系联系起来。若尔当一直在与将未经证实的观点和已证实的事实区分开来的力量作斗争。在无意识的本能驱使下，他想证实自己的预感，就必须想办法证明自己是对的；他首先将自己最初的观点与一种对真相的“感觉”混为一谈，并试图将这种感觉传达给他人。
当若尔当第一次在课堂上使用这个简单的命题时，他天真地认为这是如此显而易见：“每一条与自身不相交且起点与终点相同的连续曲线都会把平面分为两个区域。”在若尔当脑海中所想到的曲线类型中，圆就是一个具体例子，它符合曲线将平面分成两个区域（圆内和圆外）的描述。如果花几分钟思考一下，或许再用铅笔随意画画，我们很可能会同意：每一条与自身不相交且起点与终点相同的连续曲线都会把平面分为两个区域，这一命题是显而易见的。
尽管数学家们的直觉往往被证明是正确的，但他们对没有确凿证据表明“真相”的“显而易见”的说法深表怀疑。数学家似乎能感觉到数学的真相。他们可能会用“显而易见”这个词来表达一种强烈的信念，即在启发式论证的背后潜藏着形式化的证明。毕竟，数学中整个证明的概念从未得到明确的定义。数学家，以及其他所有人，在找到正式证明之前很早就做出了正确的论断，这是很正常的。但有时，逻辑细节的遗漏会导致适得其反。
若尔当最初认为他的命题是显而易见的，这意味着什么呢？我觉得他是认为大脑只需接受它，无须思索或考虑。也许，他最初认为，很难不轻易感觉到它的真相。对他来说，真相是清晰而明显的，就好像他能用自己的眼睛看到一样。但即使是眼睛看到的真相，也可能会受到质疑。当伽利略发现环绕木星运行的四颗新卫星时，他受到了告诫，因为他是借助望远镜观察到的，而不是通过逻辑论证推导出来的。佛罗伦萨天文学家弗朗切斯科·西齐（Francesco Sizzi）嘲笑伽利略道：
犹太人和其他古老的民族，以及现代欧洲人，都采用将一周分为七天的做法，并根据七大行星来命名。现在，如果我们增加行星的数量，整个系统就会坍塌……此外，卫星是肉眼看不见的，所以无法对地球产生任何影响，也就毫无用处，因此也就不存在了。
虽说使用了望远镜，但伽利略确实是亲眼看到木星的卫星的。只要仔细观察，任何人都能看到这些卫星。在将近四百年前——还算不上很久以前，人们认为通过逻辑论证或哲学原理来说服比直接观察更加有效。即使是通过人类的晶状体和视网膜看到的东西也被认为是间接观察，因此，通过望远镜观察木星的卫星肯定是更加间接了。然而，对我们来说，我们接受自己所看到的东西，将其视为真正的直接观察。我们甚至相信无线电波能给我们带来月球、火星和黑海海底的照片，为何却没有对此抱有更多怀疑呢？
当罗杰看到那位袒胸露乳的年轻帕纳雷斯女人出现在龙血树、野生原驼和模仿着蜘蛛猴的裸体孩子的场景中时，他问我这个女人是否是真实的，似乎他就该质疑自己的眼睛所看到的东西。对于一个身处森林的数学家来说，这是一个很自然的问题，因为我们可能会沉迷于通过心灵之眼去观察，而忽略了自然世界。然而，在经过深思熟虑之后，我们还是会根据我们所看到的或其他感官所告诉我们的信息来确认或否认事实。
信念可以改变记忆，反过来，记忆也可以驱使信念。信念本身不仅强大到足以改变记忆，而且强大到足以对未来的成功产生影响。电影《记忆碎片》（Memento）的主角伦纳德·谢尔比（Leonard Shelby）分享了他对此的看法：“听着，记忆可以改变房间的形状，可以改变汽车的颜色。记忆会被扭曲，它们只是一种诠释，而不是记录。而且，如果你掌握了事实，它们就是无关紧要的。”
许多年前，我写过一篇短篇小说，讲的是一个叫尤尼斯（Unis）先生的人，他在我曾经住过的地方附近的街角进行了一场非凡的特技表演。他在马戏团工作，有一项惊人的能力，可以用一根手指支撑倒立。在我写作的时候，我相信自己真的遇见过他，宛如我所描写的那样。但现在回想起来，我一点也不确定我是否真的遇到了这个人。难道是我的记忆搞错了吗？真有人能用一根手指倒立吗？这是梦吗？是不是真的有这么一位尤尼斯先生？看起来似乎是我的记忆编造了一个准神话人物。
在写完我的故事几年后，我去看了一场马戏表演，那是一场纪念美国玲玲马戏团成立一百周年的特别演出。我坐在看台高处，在那里，我再次看到了那位尤尼斯先生。他不仅只用一根手指倒立，而且还在一根 30 英尺长的杆子的末端上保持着平衡。我惊呆了。我的准神话人物不是幻想尽管如此，我还是有一丝疑虑，因为我认为这项特技在物理上是不可能的。在我年轻的时候，我可能会相信一个人可以用一根手指保持身体平衡。然而，当我对物理学有了更深入的了解后，那些天真想法就被取代了，我很难再相信魔法、神灵和人靠手指倒立之类的事情了。
我们似乎可以通过反复接触自己所看到和接受的东西而变得对其深信不疑。但事情并非如此简单。
英国哲学家大卫·休谟简明扼要地指出：“信念是心灵感受到的东西，它将判断的观念与想象的虚构区分开来。”“感受到”？信念的感觉是什么？我们尝不到它，闻不到它，看不到它，听不到它。我们不会像感受到温暖、寒冷或牙痛那样感受到它。然而……然而，我们可以感受到愤怒、悲伤和快乐等情绪，可以感受到爱、恨等感情，甚至可以感受到被赞许或受侮辱带来的影响。但是，我们能感受到信念吗？
现在，让我回到我刚开始教学的时候。为了证明自己的权威，我尝试过不同的讲课风格。那是 20 世纪 80 年代的初秋，有一次散步，我萌生了一个大胆挑战我的教授资格的想法：故意告诉我的学生一个完全错误的事实，并利用我职位的权威来迫使我的学生相信它。这是一门为文科学生开设的数学课，内容涵盖了非数学专业学生可以理解的各种主题，包括数论、逻辑和几种不同类型的几何学。我告诉学生们，当 p 是质数时， 2^p−1就是质数。然后我写出了当 p 为 2 到 19 的质数时的计算结果：
我不知道学生们会有什么样的反应。前三次计算的结果显然都是质数，但当我们计算到一个上千的数时，学生们宁愿相信我的权威。我甚至自告奋勇，在计算器上用 8191 除以 3 到 83 的所有质数，来证明它是质数。这是魔术师的手法：没有人注意到我故意跳过了 2047。
不出所料，没有人怀疑 2^p−1永远是质数。当然，它并不总是质数：2047= 23×89。但当一切尘埃落定的时候，一位怀疑论者开始有些疑问了。
托马斯（Thomas）是一个又高又瘦的年轻人，每天都光着脚来上课。他双脚下意识的位置暗示着他是否被说服。他时刻保持着警惕。在我进行实验的那天早上，他张开的双脚开始变换到不同的位置——相互交叠，先是右脚在左脚上，然后是左脚在右脚上。当我检验完 8191 是质数后，托马斯的膝盖慢慢弯曲，把脚缩到椅子下面。
“托马斯，”我试图弱化我的权威，“你似乎对我说的话感到困扰。有什么问题吗？”
“我想……我想……”他害羞地回答，“我想我倾向于相信 2^p−1 是质数，但是……在没有看到证明的情况下，我无法说服自己。”
我被识破了。在那一刻，我不得不承认我玩了一场游戏。对于所有质数 p 而言，2^p−1都是质数，这是不正确的。事实上，当p =11 或p = 23 时，就是不正确的。
与想象的虚构截然不同，数学向来以纯粹的判断而闻名，但事实真的如此吗？即使在数学中，经验也会引发从观点到信念的转化。卡米耶·若尔当最初认为，一条简单的封闭曲线将平面划分为两个区域，这来自他对简单封闭曲线的丰富经验。他一定是想象过用一般曲线来划分平面，并下意识地接受了这种划分是显而易见的。这只是他想象的虚构。他甚至可能已经多次使用过这一命题，却没有注意事实上该命题是需要得到证明的。毕竟，它是那么显而易见，以至于不需要证明。而他这一明显的想象的虚构能被证明是正确的，是件多么幸运的事啊！
我们的信念可能只是受到我们的文化或无知的影响罢了。举个例子，“在一片三叶草地里很难找到四叶草”，你可能深信这是真的，因为你听说过四叶草是幸运之物。但是你有没有试过在一片三叶草地里找到四叶草呢？如果没有，你怎么知道它很难找到呢？美国医生、作家安德鲁·韦尔（Andrew Weil）讲过一个非常精彩的故事，表明信念对我们所看到的东西有很大的影响。他写道：
几年前，我遇到一位女士，她能在任何一片三叶草地里找到四叶草……我意识到，她成功的关键在于她坚信，在任何一片三叶草地里，都有一株四叶草等待着我们去发现。若有这种信念，就有机会找到四叶草；若没有这种信念，就没有机会找到四叶草。遇见她之后，我再次开始寻找，很快就找到了四叶草。
当我还在读研究生时，数学界流传着一个杜撰的故事，是关于数学系里一位极其杰出的数学家的。这些年来，我也听过同样的故事，但讲的是其他有名望的数学家，所以不必去纠结这个故事背后的人到底叫什么名字。有一天，这位 20 世纪 50 年代初在普林斯顿大学读本科的天才上课迟到了。他的教授在黑板上列出了十道最著名的数学未解难题。（这个故事是杜撰的，因为在教室的黑板上几乎不可能写下数学界的十大未解难题。）
这位天才抄写了这些问题，以为它们是家庭作业的一部分。下一次上课时，他腼腆、尴尬地告诉他的教授，他已经解决了十道作业题中的九道，但第十道还是做不出来。问题的关键在于，这个故事的主人公有两个重要的优势：其一是他非凡的数学天赋，其二是他没有被任何强烈的畏难意识所羁绊。信念给了他巨大的力量，鼓励他推进自己的论证，跨过那些其他人曾经尝试过却未能逾越的阻碍。
在《爱丽丝漫游奇境记》中，当白皇后说她有时仅凭信念练习，就能在每天早餐前相信多达六件不可能的事情时，爱丽丝笑着说：“再怎么尝试也没用，一个人不会相信不可能发生的事情。”我们不相信与既有经验相矛盾的结果，那么是否存在对一个论断深信不疑的感觉呢？休谟说“信念是心灵感受到的东西”，这是什么意思？当面对一种信念时，人们可能会说，“我‘觉得’我是对的。”当然，我们不是通过身体的感觉来“感受”信念或怀疑的。疼痛的感觉是生理上的，可以用程度来衡量，我们可以描述和区分轻微的疼痛与折磨。我们甚至能在一定程度上描述和区分快乐与狂喜。那么，对或错的“感觉”是否存在呢？当遇到不可能的事情时，我会有什么“感觉”呢？
一个人很少会遇到不可能的事情。那么，如果有一天你在森林里野餐，看到一个女人骑着马，你的大脑会有什么“感觉”呢？没有什么不寻常的。但是，如果只有这匹马和这名骑手在树后时你才能看到，而在没有任何东西阻挡视线的情况下却看不到呢？比利时超现实主义画家勒内·马格里特（René Magritte）的画作《空白签名》（The Blank Signature）就描绘了这样的场景。在震惊之余，你还会否认自己的亲眼所见。从某种意义上说，你的感觉就像弗朗切斯科·西齐嘲笑伽利略观测到新卫星时的感觉一样。
《空白签名》，1965 年丨图源：renemagritte.org
我们的大脑有一项重大任务：解释对世界的感知，使人能够在没有矛盾的情况下生存。我们用眼睛看到的东西并不一定是真实存在的，它只需要与我们对世界的感知一致即可。为什么不期望我们的数学直觉也能以同样的方式工作呢？
正当若尔当认为他已经完成了冗长的证明时，在都灵大学教书的朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）发明了一条奇特的曲线。皮亚诺教授的奇特对象符合曲线定义的所有传统要求，但它又是如此特殊，以至于若尔当在证明他的定理时也没有考虑到这一点。皮亚诺的发明给若尔当的证明带来了漏洞。因此，若尔当回到他最喜欢的咖啡馆，为了应对皮亚诺的发现，又洋洋洒洒地写了一百页的证明。若尔当在 1886 年 10 月凭直觉认为是正确的想法，通过正式的证明再次变成了正确的想法，至少在当时是这样。同样，故事到这里并没有结束。
乍一看，你可能会像若尔当一样说：“这个定理当然是对的！”当你试图用你对空间的直觉经验来证明一些依赖精确定义的东西时，麻烦就来了。我们往往会把曲线的空间模型与曲线的抽象定义混为一谈。我们还没有看到若尔当曲线所有可能的扭曲形状。但更重要的是，我们甚至不知道什么是曲线。
若尔当认为他的证明是正确的。他在最新版本的证明中考虑了皮亚诺的曲线，并确信这样就万事大吉了。一年过去了，他的证明在数学界广为流传。唉，就在若尔当对自己的定理感觉相当不错的时候，哥廷根大学数学系主任大卫·希尔伯特（David Hilbert）了另一条若尔当没有考虑到的反常曲线。若尔当的证明再次被破坏了。
作为若尔当证明的历史延续，当时几位杰出的数学家给出的证明最终被发现是错误的。奥斯瓦尔德·维布伦（Oswald Veblen）从芝加哥来到普林斯顿时年仅 25 岁。1905 年，也就是若尔当教授班上的一个学生犹豫着是否接受他的说法的 19 年后，维布伦给出了第一个正确的证明。这份证明只有 16 页长。这个定理又一次被证明是正确的。但它不是一直都是正确的吗？如果它一直都是正确的，那么若尔当怎么会知道它是正确的，却没有确凿的证据呢？
若尔当在卢森堡咖啡馆完成他的曲线定理证明的 75 年后，我竟与另一位伟大的教授同坐在这家咖啡馆中。作为一名在巴黎留学的美国人，我不知道法国人对教授的崇敬之情，于是傻乎乎地向我的教授提出问题。通常情况下，教授会从讲台后面的接待室进入教室，在布满麦克风的讲台上给许多学生讲课。讲课结束后，他会从接待室离开，在下次上课之前，不会有学生再问他问题，也不会有学生再见到他。
1961 年 10 月的一天下午，我和几位法国朋友沿着圣米歇尔大道散步，突然发现罗歇·戈德门特（Roger Godement；译者注：早期布尔巴基学派活跃成员之一，被誉为法国自守函数之父）教授正向我们走来。我的朋友们对近距离接触大师感到非常紧张，他们立即穿过街道，给他留出更多的空间。看到这种奇怪的外国人行为，我决定顺势而为，拦住了戈德门特教授的去路。当然，他不认识我。我只是说了任何一个无畏的美国学生见到他们的教授都会说的话：“您好，戈德门特教授，我是您代数学课上的一名学生，不知道能不能找个时间和您见个面，把您今天课上讲的证明弄明白。”
令我大为吃惊的是，他的回答和任何一个通情达理的美国教授在这种情况下都会给出的回答一样：“当然可以，我们为什么不去街对面的咖啡馆喝杯咖啡，然后我来给你讲呢？”好吧，也许通情达理的美国教授不会这么说，但至少在美国，如果有人这么说也不会让人感到意外。我对如此慷慨的提议毫无准备，但当我和大教授穿过街道，走进卢森堡咖啡馆时，我看到朋友们脸上震惊和诧异的表情，觉得极为享受。
我们在咖啡馆里坐了一个多小时，戈德门特教授详细地解释了证明。第一次见面时，他和我一样紧张，但在那一年里，我们在同一家咖啡馆见了好几次面。一天，戈德门特教授转向我，平静地对我说：“你知道吗？大约 75 年前，卡米耶·若尔当就是在这家咖啡馆证明了这个定理。”
如果罗杰·胡珀没有在 1961 年 10 月的那个下午重提卡米耶·若尔当寻找证明的故事，这个由罗歇·戈德门特讲述的故事早就被人们完全遗忘了。我一直不相信罗杰的说法，直到我第一次在卢森堡咖啡馆点了一个羊角面包，服务员没等我开口就给我拿来了桃子果酱。
我第一次正儿八经地接触现代数学，是通过戈德门特教授在巴黎大学开设的现代代数课程。他给出定理，并逐个证明它们。在上他课的前六个月里，我有一种奇怪的感觉，一方面觉得理解了这些证明，另一方面却又不知道为什么是这样。有些证明很长，有些很短，但几乎都是非正式的表达。有时，这些表达会形成整齐的命题序列，使得证明更容易理解，但在大多数情况下，它们都很粗略，没有经过润色。不过，我还是理解了论证或证明的总体效果。此后多年，我一直在思考这样一个问题：为什么在没有被告知任何规则的情况下，我能够理解并相信一个命题可以推出另一个命题？似乎我的大脑天生就接受了这些规则，而学习这些规则从来都不是必要的。后来我才明白，规则并非一成不变。
高中时，老师教我模仿几何课本上的证明，我学会相信，存在一些绝对的、结构上的、逻辑性的推理，是接受一个论证为有效的必要条件。但真正的数学家不会用绝对的逻辑结构来讨论。我高中时代的课本误导学生，让他们相信数学证明来自一个定义明确的过程，而不是一种巧妙的交流方式。数学家们可以通过模糊的符号手势来相互交流，这些手势表明了前言应该推出什么样的后语。一个潦草的标记可能代表一个阿贝尔簇，这是一个具有复杂定义的对象。不知何故，在两个有阿贝尔簇经验的数学家的交流中，这个标记立即变得非常有意义，就像一个粗略画出的三角形可能代表一个数学上的三角形一样。
当我听到一些关于三角形的错误论证时，我可能无法立即精确地指出论证的哪一部分是错误的，但我知道某些部分是错误的为什么呢？我们的生活经验是我们信念体系的驱动力，我们已经习惯了我们所相信的东西，以至于我们无法相信其他东西。在简单的数学中，这一点比在其他思想领域更为真实。例如，1 = 0 有许多错误的证明：有些是几何证明，有些是代数证明，还有一些是解析证明。在数学世界之外，我们经常会形成与事实真相关系不大的信念和观点。科学真相涉及极其复杂的程序和证据，即使是最有经验的研究者也常常感到惊讶。
作者简介
约瑟夫·马祖尔（Joseph Mazur）
美国麻省理工学院数学博士，美国爱默生学院马尔伯勒文理与跨学科研究中心荣休数学教授，佛蒙特艺术与科学学院院士。曾荣获古根海姆奖，洛克菲勒基金会贝拉焦中心奖和博利亚斯科基金会奖。著有《时钟幻境：人与时间的故事》《人类符号简史》等多部科普作品。
这是一部充满洞见力和幽默感的数学小说，作者用16个有趣的探险故事，将现实世界的经验与数学，物理世界的实在和抽象与逻辑相关联。向读者展示了数学的核心——逻辑与证明如何成为理解知识与普遍真理的基石。
特 别 提 示
『返朴』提供按月检索功能。关注公众号，回复四位数组成的年份+月份，如“1903”，可获取2019年3月的内容目录，以此类推。